「カバに乗った女房:ピタゴラスの定理」

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世界を変えた17の方程式(読書メモ)

引用は上記の図書より。

なぜ重要なのか?
幾何学と代数学を重要な形で結びつけ、座標を使って距離を計算できるようにしてくれる。また、三角法をもたらした。

そこから何が導かれたか?
測量、航海術、そしてより最近の、空間、時間、重力に関する現在もっとも優れた理論である特殊相対論と一般相対論。

ギリシャ人はピタゴラスの定理を、代数的には表現していなかった。幾何学的に表現していた。

エイクレイデスの『原論』の第1巻命題47に以下がある。

「直角三角形において、その直角に相対する辺に接した正方形は、その直角を含む辺に接した2つの正方形に等しい」。

エイクレイデスによる証明は、5本の補助線によるものであった。

三角法

どのような三角形でも、直角三角形に切り分けることができる。

直角三角形から三角関数(sin, cos, tan)が求められる。角度と一つの辺で別の辺を求められる。

さらに、

三角関数が手に入れば、ピタゴラスの方程式を、直角を持たない三角形へ簡単に拡張できる。

任意角の三角形を直角三角形に切り分けて、代数的操作を行うと、コサイン則law of cosines, 第二余弦定理)が導かれる。

これより、三角法 を用いて 三角測量 を行うことができる。

精密に測量した一片の両端から、向かいの一点の角度を測る。
両端の角度に対する2つのコサイン則により、残りの2辺が求まる。

測量をする上では、距離よりも角度を測定するほうが簡単。
三角測量では、距離の測定を減らして、角度の測定を増やすことができる。

座標幾何学

ピタゴラスの定理は、座標幾何学の発明にも欠かせない役割を果たした。

1637年に発表された『方法序説』にて平面上の座標の概念を確立したルネ・デカルトの名をとってデカルト座標系とも呼ぶ。

エウクレイデスの『原論』のなかでピタゴラスの定理が証明されたことによって、この定理はユークリッド幾何学の分野のなかにしっかりと定着した。

ユークリッド幾何学では、第五公理が目障りであった。平行線公準である。
この証明が特に求められたのは、平行線公準が他の4公準とは異なり、自明ではなかったため。

千年を優に超える年月のあいだ、数学者たちはこれを修復しようと試みた。

結果として、非ユークリッド幾何学がいくつか発見された。双曲幾何学楕円幾何学である。
1868年に、ユージニオ・ベルトラミによって、平行線公準とユークリッドの他の公準が論理的に独立であることが示された。

それらの新しい幾何学はユークリッド幾何学と同じく論理的に首尾一貫しており、平行線公理を除くユークリッド幾何学のすべての公理に従うものだった。

曲面の湾曲には、曲率0(ユークリッド幾何学の面)、正の曲率(球面)、負の曲率(双曲面)がある。

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