基底変換

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ここでは、2次元のベクトル空間での
基底変換について述べます。

任意のベクトルは、平行でない2つのベクトルの
線形結合(ベクトルの定数倍と加算)
として示すことができます。

このとき、定数倍されるベクトルの事を、基底といいます。
一般に使われている直交座標系(デカルト座標系)では、
基底は e1=(1, 0), e2=(0, 1) となります。

例えば、ベクトル (2, 4) は次のように表すことができます。

基底は、必ずしも e1=(1, 0), e2=(0, 1) とは限らないため、
基底を e1=(-1, 1), e2=(2, 1) と取ると、
ベクトル (2, 4) は次のように表すことができます。

このとき、直交座標系の (x, y) を A と置くと、

基底変更後の A は、次の線形結合で示されます。

Aは同じベクトルを指すため、

であり、
行列の積に変形して、
(左辺は単位行列との積ですので、(x, y) になります)

逆行列を左からかけて、左辺と右辺を入れ替えると、
次の式が得られます。

この、基底変換の式を用いれば、
ある座標 (x, y) について、
新しい基底、すなわち新しい座標軸での
座標 (x’, y’) を調べることができます。

以上です。


参考資料

基底の計算例については、こちらの例と同じ値を用いました。
http://www.geocities.co.jp/Technopolis/5112/taikaku.html

基底変換の式変形については、こちらを参考にしました。
http://homepage2.nifty.com/eman/math/linear08.html

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